对极几何简单介绍
相机模型
《CV中的多视图几何》——再谈相机模型 - 知乎 (zhihu.com)
An Introduction to Epipolar Geometry | Sanyam Kapoor (perhapsbay.es)
小孔相机是相机模型的简化,小孔与成像平面之间的距离称为焦距。一般来说,小孔越小成像越清晰,但太小会造成衍射,导致成像模糊。
由相似三角形可得,空间上一点
令
归一化坐标和图像坐标有以下关系:
对极几何 Epipolar Geometry
Introduction To Epipolar Geometry | by Nabil MADALI | Towards Data Science
An Introduction to Epipolar Geometry | Sanyam Kapoor (perhapsbay.es)
对极几何考虑的是两个成像视图中固有的投影几何,独立于场景结构,且只取决于相机的内外参数。一般用于解决双目匹配和视图对应点搜索一类的问题。
对极几何模型如下图所示:
上图中
- 基线 Baseline:光心连线
- 对极平面 Epipolar plane:由光心和目标点组成的平面
- 极点 Epipolar Point:光心连线交成像平面的点
- 极线 Epipolar line:投影点和极点的连线
对极几何主要有以下两个方向的用途:
- 立体匹配问题。两个投影之间的空间位置关系已知的情况下,由于对极几何模型带来的一致性约束,将搜索空间定位在两张图像上,也就是在相应的极线上搜索。将最初的二维搜索问题直接简化为一维搜索。双目测距就是一个典型应用。
- 确定两个拍摄点的相对位置和姿态。在不知道视角位置的情况下,通过搜索图像对中的匹配点,便可以确定它们之间的相对位置和姿态。广泛应用于机器人导航,地图构建,三维重建等方向。
本质矩阵 Essential Matrix
《CV中的多视图几何》——基础矩阵、本质矩阵 - 知乎 (zhihu.com)
VSLAM 笔记——我们如何通过图像来计算位姿的变化:对极几何 - 知乎 (zhihu.com)
Introduction To Epipolar Geometry | by Nabil MADALI | Towards Data Science
两个相机
所以式(4)可以化简为:
基础矩阵 Fundamental Matrix
An Introduction to Epipolar Geometry | Sanyam Kapoor (perhapsbay.es)
根据式(2)中归一化坐标与像素坐标的关系有:
基础矩阵本质上是点到极线的一个映射。此映射推导过程如下:
此时这里的
之前提到
补充
以上引用文章中的推导将归一化坐标,图像坐标,摄像机坐标描述的很模糊,摄像机坐标到图像坐标本质上是一个齐次化过程,但都描述的比较模糊。
一些另外补充:
如何得到本质矩阵
以及如何将本质矩阵 经过SVD 分解得到 的方法参考:VSLAM 笔记——我们如何通过图像来计算位姿的变化:对极几何 - 知乎 (zhihu.com),一般通过图像匹配点获得基础矩阵,然后得到本质矩阵,最后分解得到 ,相机内参矩阵可通过标定得到。