卷积的简单概况
计算机视觉与图形图像处理等方面傅里叶变换都是一个十分重要的工具，与傅里叶变换紧密结合起来的便是卷积和相关，尤其是卷积（Convolution）在《数字图像处理-冈萨雷斯》中对卷积的的介绍比较笼统。
以下内容参考自《傅里叶变换-冷建华》以及《DIP》
卷积和相关有连续时间和离散时间两种形式，称之为时间是因为傅里叶是和信号紧密相关的，信号简单来说就是有意义的改变量，一般是随时间改变。
冲激信号
类似的冲激信号也有连续和离散两种形式，冲激信号是十分重要的基本信号，在傅里叶变换和取样有重要作用。
连续时间的冲激信号
基本形式如下： \[ \delta_a(t) = \left\{ \begin{aligned} +\infty&, &t = 0 \\ 0&, &t\neq 0 \end{aligned} \right. \] 且满足： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} \delta_a(t) dt = 1 \] 下标 a 表示模拟信号（analog），有以下的积分形式的取样特性（sift）： \[ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta_a(t) dt = f(0) \\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \delta_a(t-t_0) dt = f(t_0) \]
离散时间的冲激信号
和连续形式的冲激类似，其形式如下： \[ \delta(n) = \left\{ \begin{aligned} 1&, &n = 0 \\ 0&, &n\neq 0 \end{aligned} \right. \] 其中 n 为整数，满足： \[ \sum_{n = -\infty}^{+\infty}\delta(n) = 1 \] 类似的取样特性如下： \[ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(n)\delta(n) = f(0) \\ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} f(n)\delta(n - x_0) = f(x_0) \]
连续时间信号的卷积
线性卷积
定义如下： \[ x_a(t) * y_a(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x_a(\tau) y_a(t-\tau) d\tau \] 也就是将 \(y_a\) 翻转（卷）之后对应相乘（积）然后平移计算出所有的值。
具有冲激不变性： \[ x_a(t) * \delta_a(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x_a(\tau) \delta_a(t-\tau) d\tau = x_a(t) \] 线性卷积一般针对一般信号，需要在整个定义域内进行计算
周期卷积
周期卷积也就是针对的是周期信号的卷积，因为是周期信号所以只需要关注一个周期就可以了
定义如下： \[ x_a(t) * y_a(t) = \int_{0}^{T} x_a(\tau) y_a(t-\tau) d\tau \] 其中 \(x_a\) 和 \(y_a\) 都是周期为 T 的信号，和线性卷积唯一不同的就是积分区域，这里采用的是 \([0 \sim T]\)，其实只要满足一个周期就可以了
循环卷积
循环卷积是针对有限信号，即在某一段区域内有定义的信号（定义域外为 0）假设信号 \(x_a,y_a\) 定义在 \([0 \sim T]\) 上，循环卷积定义如下： \[ x_a(t) * y_a(t) = \int_{0}^{T} x_a(\tau) y_a(<t-\tau>_T) d\tau \] 其中 \(<t-\tau>_T\) 表示对 \(t-\tau\) 取模 T 运算，即余数。
卷积后的信号仅在 \([0\sim T]\) 有定义，其它均为 0。
周期卷积和循环卷积同样满足冲击不变性。
离散时间信号的卷积
类似于连续信号，离散信号（序列）仅仅是将积分改为求和，离散卷积同样具有冲击不变性
线性卷积
定义如下： \[ x(n) * y(n) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} x(i) y(n-i) \] n 为整数，代表离散
周期卷积
周期卷积对应的就是周期序列，两个周期为 N 的信号的卷积如下： \[ x(n) * y(n) = \sum_{i=0}^{N-1} x(i) y(n-i) \]
循环卷积
循环卷积定义的是一般有限序列，定义如下： \[ x(n) * y(n) = \sum_{i=0}^{N-1} x(i) y(<n-i>_N) \]
简单补充
循环卷积和周期卷积本质上并无区别，循环卷积就是对有限序列直接进行周期拓展后的周期卷积
循环卷积也叫做圆周卷积
对于长度不同的序列做循环卷积一般会进行拓展，即在末尾补0，假设两个信号长度分别为 M，N，则补充 0 后的长度应该至少为 M+N，这样的循环卷积才会和直接线性卷积相同。即两个信号的高低频不会混淆。